Иван Семёнович Унковский родился 29 марта (10 апреля н. ст.) 1822 г. в селе Колышево Калужской губернии (ныне – с. Колышево Дзержинского района Калужской области). Его отец, Семён Яковлевич Унковский, в 1813–1816 гг. на шлюпе «Суворов» под командованием будущего прославленного мореплавателя и флотоводца М.П. Лазарева участвовал в четвертом русском кругосветном плавании. Выйдя в отставку, Семён Яковлевич вел активную общественную деятельность. В своей известной записке, поданной императору Николаю I, он писал: «Каждый верноподданный, сохраняя должную почтительность к престолу, с доверием к государственным постановлениям и любовью к своему Отечеству, не утаит своих дум, своих опасений…». При этом среди размышлений «старого моряка», основной темой было «…о необходимости упрочить могущество русского флота и безопасность главнейших портов России…». Любовь и преданность стране Семён Яковлевич передал и своим детям, двое из которых, Иван и Пётр, по примеру отца связали свою жизнь с флотом.
В Российском государственном архиве Военно-Морского Флота (РГАВМФ) в фонде № 432 «Морское училище» выявлены многообразные документы о братьях Унковских за период их обучения в Морском кадетском корпусе с 1835 по 1839 год.
«Государь император высочайше повелеть изволил сыновей директора Московского дворянского института капитан-лейтенанта Унковского, Ивана и Петра, во уважение отличной службы их отца, назначить экстренными кандидатами Морского кадетского корпуса», – так указано в отношении Инспекторского департамента Главного морского штаба директору Морского корпуса.
Согласно формулярному списку Иван Унковский стал кадетом Морского кадетского корпуса 12 декабря 1835 года. Система образования в корпусе строилась на неразрывной связи теории и практики. Поэтому получаемые кадетами и гардемаринами теоретические знания закреплялись в море. На втором году обучения И.С. Унковский ходил в плавание на корпусном фрегате, а уже будучи гардемарином – и на более серьёзных кораблях: «Лефорт», «Не тронь меня», «Владимир» и фрегате «Александр Невский».
Выявленные документы – кондуитные списки, экзаменационные ведомости, списки гардемарин с указанием баллов по учебным предметам и поведению – показывают, что учёба Ивану Унковскому давалась нелегко. Но, благодаря упорству и самодисциплине, в 1839 году он заканчивает корпус в звании мичмана и назначается в 8-й флотский экипаж Балтийского флота. Сохранился документ с клятвенным обещанием выпускников Морского кадетского корпуса служить верно и преданно своему Отечеству, где в числе подписей офицеров есть и автограф Ивана Унковского.
Кампанию 1840 года юный мичман Унковский провел на балтийском бриге «Казарский» под командованием капитан-лейтенанта И.Т. Веселаго. Весной 1841 года последовал перевод в Николаев, на Черноморский флот, а в апреле 1842 года И.С. Унковский был назначен адъютантом к командующему Черноморским флотом вице-адмиралу М.П. Лазареву. Унковский-старший справедливо полагал, что лучшего наставника для сына в морском деле найти нельзя.
В 1843–1844 годах мичман Унковский постоянно находился в море. В общей сложности он провёл в плавании, согласно послужному списку, 451 день. Бриг «Персей», на котором служил Иван Семёнович, посетил Константинополь, Пирей, Триест, Мальту. Помимо своих непосредственных обязанностей, Унковский собирал разведывательные данные о состоянии иностранных военных флотов, сведения о политической обстановке, складывавшейся на Балканах. Собранные сведения получили высокую оценку, итогом стало представление мичмана Унковского к ордену Св. Станислава 3-й степени. «В награду отлично усердной службы, Всемилостивейше пожалован кавалером ордена…27 декабря 1844 года» указано в полном послужном списке.
15 апреля 1845 года Унковский «по экзамену» был произведен в лейтенанты. В том же году за отличное несение службы на параходофрегате «Громоносец», осуществлявшем крейсерские операции и поддержку высадки десантов у восточных берегов Черного моря, Иван Семенович был представлен к ордену Св. Анны 3-й степени.